Triangle de Pascal

I - Historique

Le "triangle arithmétique" était connu depuis longtemps, par exemple en Chine au 11e siècle comme le montre l'image suivante tirée de l'oeuvre "Le miroir de jade des quatre éléments", publié par le mathématicien chinois Zhu Shi Jie en 1303).

Toutefois Le "triangle arithmétique" a été étudié par Blaise Pascal dans un traité, publié en 1665 à titre posthume, c'est pourquoi il porte le nom de "triangle de Pascal".

II - Présentation

Pour obtenir rapidement des informations mathématiques sur divers domaines, tel que :

Les coefficients du binôme de Newton
Les nombres de la suite de Fibonacci
Les coefficients d'un polynôme dont cos(pi/n) est racine
...

On utilise le triangle de Pascal, dont nous présentons, ci-après deux constructions possibles.

II.1 / Triangle Isocèle de Pascal

II.2 / Triangle Rectangle de Pascal

T2P		[ k ] R a n g C o l o n n e s
T2P		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[ n ] R a n g L i g n e	0	1
	1	1	1
	2	1	2	1
	3	1	3	3	1
	4	1	4	6	4	1
	5	1	5	10	10	5	1
	6	1	6	15	20	15	6	1
	7	1	7	21	35	35	21	7	1
	8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
	9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
	10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
	11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
	12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1

III - Remplissage du triangle

Chaque élément du triangle est égal à la somme de deux autres éléments selon la règle suivante :
L'élément E de la ligne rang (n) et de la colonne rang (k) est obtenu en additionnant l'élément E de la ligne rang (n-1) et de la colonne rang (k) avec l'élément E de la ligne rang (n-1) et de la colonne rang (k-1) Autrement écrit:

E_{n,k)} = E_{(n-1),k)} + E_{{(n-1),(k-1)}}

Exemple -1-
l'élément E sur la ligne rang 8 et la colonne rang 2 est le nombre 28.
Il est obtenu en additionnant l'élément E₁ = 21 [de la ligne 7 (8-1) et de la colonne 2] avec l'élément E₂ = 7 [de la ligne 7 (8-1) et de la colonne 1 (2-1)] et il est égale à 21 + 7 = 28.

Exemple -2-
l'élément E sur la ligne 11 et la colonne 6 est le nombre 462.
Il est obtenu en additionnant l'élément E₁ [de la ligne 10 (11-1) et de la colonne 6] avec l'élément E₂ = 252 [de la ligne 10 (11-1) et de la colonne 5 (6-1))] et il est égale à 210 + 252 = 462.

Illustration

NB :
La première colonne du triangle de Pascal ne contient que des 1, et chaque ligne finit par un 1

IV - Quelques propriétés du triangle de Pascal

IV.1 - Les sommes :

IV.1.1 - Somme en ligne :

la somme des termes sur la ligne de rang n (première ligne = rang 0) est égale à 2n.

IV.1.2 - Somme en colonne :

Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant verticalement, on obtient le terme situé en diagonale en bas à droite du dernier terme de la colonne.

Exemple :
Descente verticalement de 3 termes dans la colonne de rang 9 : 1 + 10 + 55 = 66 terme situé en bas à droite du dernier terme

IV.1.3 - Somme en diagonal descendante :

Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant en diagonale vers la droite, on obtient le terme situé sous le dernier terme de la diagonale.

Exemple :
Descente en diagonale vers la droite de 5 termes à partir de la ligne de rang 7 : 1 + 8 + 36 + 120 + 330 = 495 terme situé sous le dernier

Illustration

IV.1.4 - Somme en diagonale ascendante :

IV.1.4.1 - Suite de Fibonacci :

la somme des termes des diagonales ascendantes forme la suite de Fibonacci.

IV.1.4.2 - Suite diatomique de Stern :

Le nombre de coefficients impairs sur les diagonales ascendantes forme la suite diatomique de Stern.

Illustration

IV.1.5 - Somme alternée en ligne :

On dote les termes correspondant aux colonnes de rang impaire du signe (-) et on effectue la somme des termes d'une même ligne de rang n avec n > 0, le résultat est toujours égal à zero (0)

Illustration

IV.2 - Récapitulatif sur les sommes :

Dans le triangle de Pascal on a les formules des sommes suivantes:

IV.3 - Liaison entre les nombres :

Considérons les nombres dans le triangle comme étant des nœuds dans un réseau et que chaque nombre est connecté, par un certain nombre de chemins, aux nombres qui lui sont adjacents en bas et en haut.
Le nombre de chemins, comptés sans faire de marche arrière, qui connectent un nombre (nœud) quelquonque au nombre (nœud) supérieur du triangle. est dit "le nombre de Pascal" associé à ce nœud.

Remarque :

Pour les noeuds du bord du triangle qui sont repérés par N_(n,0) (c'est-à-dire tous les éléments de la colonne 0) et ceux par N_(n,n) (c'est-à-dire tous les éléménts N_(n,k) avec k = n), il n'y a qu'un seul chemin.
Pour les noeuds dont la valeur de k ∈[1, (n – 1)], on doit passer par l'un des noeuds N_{(n – 1, k– 1)} ou N_{(n – 1, k)} pour atteindre le noeud N_{(n, k)}.

Illustration

On se propose de déterminer graphiquement le nombre de chemins liant le nombre(noeud) 6 (ligne de rang 4 et colonne 2) que nous notons 6_(4,2) et le nombre 1_(0;0)

Donc on voie qu'il existe 6 chemins possibles liant le noeud 6_(5,2) au noeud 1_(0,0)

Généralisation

D'une façons générale on obtient le nombre de chemin liant, au sein du triangle de Pascal, un nombre N_(n,k) au nombre N_(0,0) par la formule suivante :

Exemple
Combien de chemin au sein du triangle de pascal permettant la liaison du N_(6,2) à N_(0,0)
Ou encore
Quelle est la valeur, au sein du triangle de Pascal, du nombre repéré par N_(6,2)

Ce résultat est vérifiable sur le triangle précèdent

IV.4 - Symétrie :

Chaque ligne du triangle a son propre axe vertical de symétrie, ex. 1, 4, 6, 4, 1.

V - Quelques utilisations du triangle de Pascal

V.1 - Développements binomiaux :

Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux.
En effet, on trouve sur une même ligne de rang n, tous les coefficients intervenant dans le développement de la somme de deux termes à la puissance n.

Exemple -1-
(x+1)²
Dans cet exemple n=2, les coefficients de la ligne de rang 2 sont 1, 2 et 1 donc le développement est égal à 1.x² + 2.1.x + 1.1² d'où
(x+1)² = x² + x + 1

Exemple -2-
(x+1)⁴
Dans cet exemple n=4, les coefficients de la ligne de rang 4 sont 1, 4, 6, 4 et 1 donc le développement est égal à 1.x⁴.1 + 4.x³.1 + 6.x².1 + 4.x.1 d'où
(x+1)⁴ = x⁴ + 4.x³ + 6.x² + 4.x + 1

Généralisation

D'une façon générale la formule de développement est la suivante :

(X + Y)ⁿ = k₀.Xⁿ.Y⁰ + k₁.X^n-1.Y¹ + k₂.X^n-2.Y² + ...... + k_n-1.X¹.Y^n-1 + k_n.X⁰.Yⁿ

k₀, k₁, k₂, k₃ ..... k_n sont les coefficients du triangle de Pascal relatifs à la ligne de rang n

En utilisant la propriété du triangle de Pascal pour la détermination de ses nombres, la précédente formule peut s'écrire sous la forme simplifiée suivant :

V.2 - Calcule des valeurs exactes des nombres cos(π/n) :

Nous connaissons tous les cosinus des angles usuels, comme π/2, π/3, π/4 ou encore π/6 en effet :
cos(π/2) = 0, cos(π/3) = 1/2, cos(π/4) = (√2)/2, cos(π/6) = (√3)/2
Nous nous proposons de voir comment calculer la valeur exacte des nombres cos(π/n) lorsque n n'est pas un multiple de 2, 3, 4, ou de 6 et en particulier, losque n est un nombre premier, tel que:
cos(π/5), cos(π/7), cos(π/11), cos(π/13)

Nous avons vu précedemment (IV.1.4) que les diagonales ascendantes donnent les termes des suites de Fibonacci et de Stern, aussi ces diagonales donnent les coefficients des polynomes dont les racines peuvent être du type cos(π/n) (n) étant le n° d'ordre de la diagonale en commançant par le haut c'est-à-dire la 1ère diagonale porte le n° 1 (n=1).

D'une façon générale, les termes de la (n)ième diagonale du triangle de Pascal, donnent les coefficients d'un polynôme de degré p dont les p racines réelles distinctes sont :

k varie de 1 à p

Pour former le polynome en question il faut alterner les signes des dits coefficients.
Exemple
La cinquième diagonale ascendante comporte les termes 1, 3 et 1, ce qui donne en altérnant les signes, le polynome de dégré 2, P(x) = x² - 3x + 1 = 0
Donc la position (n=5) de la diagonale dont les termens ont servi pour la formation du polynome (Px) de degré (2) et en appliquant la formule précedente on obtient les deux solutions du dit polynome :

S11 : S12 :

Nous allons chercher les valeurs de cos(π/5) et cos(2π/5).
De ce fait on va déterminer les solutions de P(x) en utilisant le discriminant Δ
Δ = b2 - 4ac avec a = 1, b =(-3) et c = 1 d'où Δ = 5 et √Δ = √5
Sachant qu'en fonction de Δ les solutions sont:

D'où les solutions de P(x) :

S21 :                                                 S22 :


Comme les solutions S11, S12, S21 et S22 étant celles de P(x) alors elles sont égales deux à deux, supposant que
S11 = S21 et S12 = S22 d'où



Il est possible maintenant de déterminer les valeurs de cos(π/5) et cos(2π/5)

En divisant par 4, en prenant la racine carrée et en mettant sous une forme remarquable on détermine
cos(π/5) et cos(2π/5)

* cos(π/5)

* cos(2π/5)