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IDENTITES REMARQUABLESPrésentationLes trois identités remarquables du second degré sont :(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 (a-b)(a+b) = a2 - b2 Remarques: 1/ Les trois expressions (a+b)2, (a-b)2, (a-b)(a+b) sont appelées produits remarquables 2/ Les trois expressions a2 + 2ab + b2, a2 - 2ab + b2, a2 - b2 sont appelées sommes remarquables Nb: a et b désignent des nombres, qui peuvent être des entiers, des rationnels et réels, ou même des complexes ExemplesDéveloppement et réductionOn peut se servir des identités remarquables pour transformer l'écriture des expressions algébriques, à titre d'application on va utiliser l'expression suivante:E = (3x + 2)2 + (-5x +3)(4 - x) Il y'à lieu de remarquer que E est la somme de deux entités: E1 = (3x + 2)2 et E2 = (-5x +3)(4 - x) E1 = (3x + 2)2 = (3x)2 + 2(3x)(2) + 22 = 9x2 + 12x + 4 E2 = (-5x +3)(4 - x) = -20x + 12 + 5x2 -3x = 5x2 - 23x + 12 E = 9x2 + 12x + 4 + 5x2 - 23x + 12 E = 14x2 - 11x + 16 Equation du second degréL'une des utilisations possible des identités remarquables est la résolution des équations du second degré, illustrons cette possibilité par l'exemple suivant:Soit l'équation de second degré à résoudre: (A) x2 + 2x - 4 = 0 Le principe est d'agir sur la constante de l'expression de telle façon qu'on peut la réecrire sous une forme permettent l'utilisation des identités remarquables. En remplaçant (-4) par (1 - 5) notre équation (A) s'écrirait comme suit (A) x2 + 2x - 4 = x2 + 2x + 1 - 5 = (x + 1)2 - 5 = (x + 1)2 - (√5)2 = 0 On remarque que (A) est devenue sous la forme a2 - b2 Utilisons cet identité remarquable pour reécrire (A) (A) x2 + 2x - 4 = (x + 1)2 - (√5)2 = [(x + 1) - √5][(x + 1) + √5] = 0 D'où les solutions de (A) (A) = 0 => [(x + 1) - √5] = 0 ou [(x + 1) + √5] = 0 [(x + 1) - √5] = 0 => x1 = - 1 + √5 [(x + 1) + √5] = 0 => x2 = - 1 - √5 |
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