Formulaire des limites

Formulaire des Limites

Chapitres

Limites de fonctions usuelles
Limites données par le taux d'accroissement
Comparaison de fonctions

Limites de fonctions usuelles

Puissances de x : pour n>0

Fonction f(x)	Limite recherchée	Valeur de la limite
xⁿ	lim f(x) quand x => + ∞	+ ∞
x^-n	lim f(x) quand x => + ∞	0
x^-n	lim f(x) quand x => 0+	+ ∞
Illustration graphique :

Exponentielle

Fonction f(x)	Limite recherchée	Valeur de la limite
e^x	lim f(x) quand x => + ∞	+ ∞
e^x	lim f(x) quand x => - ∞	0
e^-x	lim f(x) quand x => + ∞	0
e^-x	lim f(x) quand x => - ∞	+ ∞
Illustration graphique :

Logarithme

Fonction f(x)	Limite recherchée	Valeur de la limite
ln(x)	lim f(x) quand x => 0	- ∞
ln(x)	lim f(x) quand x => + ∞	+ ∞
Illustration graphique :

Limites données par le taux d'accroissement

Fonction f(x)	Limite recherchée	Valeur de la limite
sin(x) / x	lim f(x) quand x => 0	1
Illustration graphique :
ln(1+x) / x	lim f(x) quand x => 0	1
Illustration graphique :
e^x-1 / x	lim f(x) quand x => 0	1
Illustration graphique :
1 - cos(x) / x²	lim f(x) quand x => 0	1/2
Illustration graphique :

En ce qui concerne la croissance comparée des fonctions, il faut retenir qu'en + ∞ :

* Les exponentielles sont plus fortes que n'importe quel puissance de x.
* N'importe quelle puissance positive de x est plus forte que n'importe quel puissance du logarithme.

D'où :

Fonction f(x)	Limite recherchée	Valeur de la limite
(ln(x))^a / x^α a ∈ IR & α > 0	lim f(x) quand x => + ∞	0
Illustration graphique :
e^xx / x^α α ∈ IR	lim f(x) quand x => + ∞	+ ∞
Illustration graphique :

On résume en général ce qui se passe par l'échelle de comparaison suivante :

tout en remarquant que si f est à droite de g alors on a :

En fin si on veut savoir ce qui se passe en 0, ou en - ∞, on peut procéder par un changement de variables du type Y=1/x ou Y=-x qui permet dans tous les cas de se ramener au cas de + ∞.

Exemples et illustrations graphiques

Exemple -1-

Graphique à gauche : √ln(x), ln(x), ln(x)⁵
Graphique à droite : ln(x)/√ln(x), ln(x)⁵/ln(x), ln(x)⁵/√ln(x)

Exemple -2-

Graphique à gauche : √x, x, x⁵
Graphique à droite : x/√x, x⁵/x, x⁵/√x

Exemple -3-

Graphique à gauche : 2^x, e^x, 5^x
Graphique à droite : e^x/2^x, 5^x/2^x, 5^x/e^x

NB :
Pour plus d'informations sur les limites et surtout sur les opérations sur les limtes consultez le document suivant :

OPERATIONS SUR LES LIMITES