A)Présentation

Les coefficients de l'équation du second degrés suivante, a, b et c sont des nombres réels :

(E) : ax² + bx + c = 0

Pour résoudre une équation du second degré il faut trouver les valeurs (dites solutions ou racines) de x qui la vérifient, c'est-à-dire que si on remplaçe dans cette équation l'inconnue x par l'une ou l'autre de ces valeurs on trouve bien qu'elle est égale à 0.

B)Technique de résolution

B.1) Calcul du discriminant Delta Δ

Nous savons que Delta noté (Δ) est ègale à

Δ = b² - 4ac

Trois possibiltés se présentent en fonction de la valeur de Δ

a) Δ > 0

L'équation possède deux solutions

x1 = [ - b - √Δ ] / 2a

x2 = [ - b + √Δ ] / 2a

Nb:
Il existe 2 relations entre les racines x1 et x 2 :

x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a

b) Δ = 0
L'équation possède une solution unique

x0 = - b/2a

c) Δ < 0
L'équation ne possède pas de solution

B.2) Factorisation

a) Δ > 0

Si Δ > 0 , E(x) peut être factorisée de deux manières

La factorisation par a :

E(x) = a(x-x1)(x-x2)

la factorisation par c :

E(x) = c(1-x/x1)(1-x/x2)

b) Δ = 0

Si Δ = 0 , E(x) ne peut être factorisée que d'une seule manière

E(x) = a(x-x0)²

c) Δ < 0

E(x) n'est pas factorisable.

C) Exemples

C.1) E(x) = x² + 5x + 4 = 0

Δ = (5)² - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9

Donc Δ > 0

d'où les solution de E(x)

x1 = [- 5 - √9] / 2(1) = -4
x2 = [- 5 + √9] / 2(1) = -1

C.2) E(x) = 2x² + 4x + 2 = 0

Δ = (4)² - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0

Donc Δ = 0

d'où l'unique solution de E(x)

x0 = -(4) / 2(2) = -16/16 = -1

C.3) E(x) = 3x² + 4x + 2 = 0

Δ = (4)² - 4(3)(2) = 16 - 24 = -8

Donc Δ < 0

d'où de E(x) n'admet aucune solution ou autrement dit elle n'a pas de racine

D) Manipulation graphique